复变函数与积分变换

复数

$$ \displaylines{ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\ z = re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta) } $$

解析函数

❗C-R方程

$$ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y},\space \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{\partial\varphi}{\partial y} $$

初等函数

指数函数

$$ e^{z+2k\pi i}= e^z $$

对数函数

$$ \ln z = \ln|z|+i \arg z\\ $$

幂函数

$$ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Ln} z} $$

$\alpha$为n时为单值函数，1/n时为n值函数，0时为1，p/q时q值，无理数或复数时无穷多值。

三角函数

$$ \displaylines{ \cos z = \frac1 2(e^{iz}+e^{-iz})\\ \sin z = \frac1 {2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ } $$

积分

$$ \displaylines{ \int_C f(z)\mathrm{d}z = \int_Cu\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_Cv\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\\ \oint_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^n}= \left\{ \begin{aligned} &2\pi i & &n=1 \\ &0 & &n\neq 1 \end{aligned} \right.\\ |\int_Cf(z)\mathrm{d}z|\leq\int_c|f(z)|\mathrm{d}s } $$

柯西积分定理

f在D内解析，C在D内。与路径无关。

$$ \displaylines{ \int_Cf(z)\mathrm{d}z= 0\\ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z = \sum^n_{k=1}\oint{C_k}f(z)\mathrm{d}z } $$

柯西积分公式

$$ f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm d\zeta $$

高阶导数

$$ \displaylines{ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\mathrm d\zeta\\ \oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(zi) } $$

级数

幂级数

$$ \sum^\infty_{n=0}C_n(z-z_0)^n $$

收敛半径

$$ \displaylines{ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac {C_{n+1}} {C_n}|\\ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|C_n|} } $$

泰勒级数

$$ C_n=\frac1{n!}f^{(n)}(z_0) $$

❗常用幂级数

$$ \displaylines{ e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z_n}{n!}\\ \frac1{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n,\space |z|<1 } $$

洛朗级数

$$ \displaylines{ f(z) = \sum^\infty_{n=-\infty}C_n(z-z_0)^n\\ Cn = \frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta } $$

留数

❗留数定理

$$ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$

简单极点

$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) $$

一阶极点

$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} $$

❗m阶极点

$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] $$

❗无穷远处留数

$$ \displaylines{ \frac1{2\pi i}\oint_{|z|=R}f(z)\mathrm{d}z= -\mathrm{Res}[f(z),\infty]\\ \mathrm{Res}[f(z),\infty] = -\mathrm{Res}[f(\frac1z)\cdot\frac1 {z^2}, 0] } $$

留数在定积分运用

$\int^{2\pi}_0R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta$

$z_k$为$f(z)$在单位圆周内的极点。

$$ \int^{2\pi}_0R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta = 2\pi i \sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$

$\int^{+\infty}_{-\infty} R(x)\mathrm{d}x$

令$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，要求Q比P高两次以上，Q在实轴上无零点，$z_k$为$\mathrm{Im}z>0$的极点。

$$ \int^{+\infty}_{-\infty} R(x)\mathrm{d}x=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[R(z),z_k] $$

$\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x$

$f(z)=R(z)e^{iaz}$，$z_k$为$f(z)$上半平面的奇点。

$$ \int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$

共性映射

分式线性映射

$$ w=\frac{az+b}{cz+d}\\ \frac{w-w_1}{w-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2} = \frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} $$

傅里叶变换

$$ \displaylines{ \mathscr{F}[f(t)]= F(\omega)= \int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=f(t) = \frac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm d\omega\\ \mathscr{F}[\delta(t)]=1\\ \mathscr{F}^{-1}[1] = \delta(t) } $$

❗常用傅里叶变换对

基本性质

位移

$$ \displaylines{ \mathscr{F}[f(t-t_0)] = e^{-j\omega t_0}F(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega-\omega_0)] = e^{j\omega_0 t}f(t) } $$

相似

$$ \mathscr{F}[f(at)] = \frac1{|a|}F(\frac\omega {|a|})\\ $$

微分积分

$$ \displaylines{ \mathscr{F}[f'(t)] = j\omega \mathscr{F}[f(t)]\\ \mathscr{F}[g(t)]=\frac1{j\omega}\mathscr{F}[f(t)] } $$

❗卷积

$$ \displaylines{ f_1(t)*f_2(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm d\tau\\ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\ \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac1{2\pi}F_1(\omega)* F_2(\omega)\\ } $$

拉普拉斯变换

$$ \begin{aligned} \mathscr{L}[f(t)] =F(s) &= \int^{+\infty}_0f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ &=\mathscr{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] \end{aligned} $$

基本性质

线性性质与傅里叶变换相似

微积分

$F(s) = \mathscr{L}[f(t)]$

$$ \displaylines{ \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)\\ F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]\\ \mathscr{L}[\int^t_0f(t)\mathrm{d}t]=\frac1sF(s)\\ \int^\infty_sF(s)\mathrm{d}s=\mathscr{L}[\frac{f(t)}t] } $$

卷积

卷积规则与傅里叶变换类似

反演

$$ f(t)=\frac1{2\pi j}\int^{\beta+j\infty}_{\beta-j\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s $$

❗拉普拉斯变换对