Loading... # 复变函数与积分变换 ## 复数 $$ \displaylines{ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\ z = re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta) } $$ ## 解析函数 ### ❗C-R方程 $$ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y},\space \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{\partial\varphi}{\partial y} $$ ### 初等函数 #### 指数函数 $$ e^{z+2k\pi i}= e^z $$ #### 对数函数 $$ \ln z = \ln|z|+i \arg z\\ $$ #### 幂函数 $$ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Ln} z} $$ $\alpha$为n时为单值函数，1/n时为n值函数，0时为1，p/q时q值，无理数或复数时无穷多值。 #### 三角函数 $$ \displaylines{ \cos z = \frac1 2(e^{iz}+e^{-iz})\\ \sin z = \frac1 {2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ } $$ ## 积分 $$ \displaylines{ \int_C f(z)\mathrm{d}z = \int_Cu\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_Cv\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\\ \oint_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^n}= \left\{ \begin{aligned} &2\pi i & &n=1 \\ &0 & &n\neq 1 \end{aligned} \right.\\ |\int_Cf(z)\mathrm{d}z|\leq\int_c|f(z)|\mathrm{d}s } $$ ### 柯西积分定理 f在D内解析，C在D内。与路径无关。 $$ \displaylines{ \int_Cf(z)\mathrm{d}z= 0\\ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z = \sum^n_{k=1}\oint{C_k}f(z)\mathrm{d}z } $$ ### 柯西积分公式 $$ f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm d\zeta $$ ### 高阶导数 $$ \displaylines{ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\mathrm d\zeta\\ \oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(zi) } $$ ## 级数 ### 幂级数 $$ \sum^\infty_{n=0}C_n(z-z_0)^n $$ #### 收敛半径 $$ \displaylines{ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac {C_{n+1}} {C_n}|\\ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|C_n|} } $$ ### 泰勒级数 $$ C_n=\frac1{n!}f^{(n)}(z_0) $$ ### ❗常用幂级数 $$ \displaylines{ e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z_n}{n!}\\ \frac1{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n,\space |z|<1 } $$ ### 洛朗级数 $$ \displaylines{ f(z) = \sum^\infty_{n=-\infty}C_n(z-z_0)^n\\ Cn = \frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta } $$ ## 留数 ### ❗留数定理 $$ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$ #### 简单极点 $$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) $$ #### 一阶极点 $$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} $$ #### ❗m阶极点 $$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] $$ #### ❗无穷远处留数 $$ \displaylines{ \frac1{2\pi i}\oint_{|z|=R}f(z)\mathrm{d}z= -\mathrm{Res}[f(z),\infty]\\ \mathrm{Res}[f(z),\infty] = -\mathrm{Res}[f(\frac1z)\cdot\frac1 {z^2}, 0] } $$ ### 留数在定积分运用 #### $\int^{2\pi}_0R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta$ $z_k$为$f(z)$在单位圆周内的极点。 $$ \int^{2\pi}_0R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta = 2\pi i \sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$ #### $\int^{+\infty}_{-\infty} R(x)\mathrm{d}x$ 令$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，要求Q比P高两次以上，Q在实轴上无零点，$z_k$为$\mathrm{Im}z>0$的极点。 $$ \int^{+\infty}_{-\infty} R(x)\mathrm{d}x=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[R(z),z_k] $$ #### $\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x$ $f(z)=R(z)e^{iaz}$，$z_k$为$f(z)$上半平面的奇点。 $$ \int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$ ## 共性映射 ### 分式线性映射 $$ w=\frac{az+b}{cz+d}\\ \frac{w-w_1}{w-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2} = \frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} $$ ## 傅里叶变换 $$ \displaylines{ \mathscr{F}[f(t)]= F(\omega)= \int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=f(t) = \frac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm d\omega\\ \mathscr{F}[\delta(t)]=1\\ \mathscr{F}^{-1}[1] = \delta(t) } $$ ### ❗常用傅里叶变换对 | $f(t)$ | $F(\omega)$ | | ---------------- | ----------------------------- | | $\delta(t)$ | $1$ | | $1$ | $2\pi \delta(\omega)$ | | $\delta(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}$ | | $e^{j\omega_0t}$ | $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ | ### 基本性质 #### 位移 $$ \displaylines{ \mathscr{F}[f(t-t_0)] = e^{-j\omega t_0}F(\omega)\\ \mathscr{F}^{-1}[F(\omega-\omega_0)] = e^{j\omega_0 t}f(t) } $$ #### 相似 $$ \mathscr{F}[f(at)] = \frac1{|a|}F(\frac\omega {|a|})\\ $$ #### 微分积分 $$ \displaylines{ \mathscr{F}[f'(t)] = j\omega \mathscr{F}[f(t)]\\ \mathscr{F}[g(t)]=\frac1{j\omega}\mathscr{F}[f(t)] } $$ ### ❗卷积 $$ \displaylines{ f_1(t)*f_2(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm d\tau\\ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\ \mathscr{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac1{2\pi}F_1(\omega)* F_2(\omega)\\ } $$ ## 拉普拉斯变换 $$ \begin{aligned} \mathscr{L}[f(t)] =F(s) &= \int^{+\infty}_0f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ &=\mathscr{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] \end{aligned} $$ ### 基本性质 线性性质与傅里叶变换相似 #### 微积分 $F(s) = \mathscr{L}[f(t)]$ $$ \displaylines{ \mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)\\ F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]\\ \mathscr{L}[\int^t_0f(t)\mathrm{d}t]=\frac1sF(s)\\ \int^\infty_sF(s)\mathrm{d}s=\mathscr{L}[\frac{f(t)}t] } $$ ### 卷积 卷积规则与傅里叶变换类似 ### 反演 $$ f(t)=\frac1{2\pi j}\int^{\beta+j\infty}_{\beta-j\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s $$ ### ❗拉普拉斯变换对 | $f(t)$ | $F(s)$ | | --------- | -------------------- | | $1$ | $\frac1s$ | | $e^{at}$ | $\frac1{s-a}$ | | $t^m$ | $\frac{m!}{s^{m+1}}$ | | $\sin at$ | $\frac{a}{s^2+a^2}$ | | $\cos at$ | $\frac{s}{s^2+a^2}$ | © 允许规范转载 赞 富婆饿饿饭饭
